Question

已知椭圆的方程为：，其中a²=4c，直线l：3x-2y=0与椭圆的交点在x轴上的射影恰为椭圆的焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆在x轴上方的一个交点为P，F是椭圆的右焦点，试探究以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设椭圆的左右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），由题意可得直线3x-2y=0与椭圆的一个交点坐标是，由椭圆定义可得4c=2a①，再由②，a²=b²+c²③，可得a，b，c；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，直线与椭圆的一个交点为P（1，），F（1，0），由已知易求两圆的方程，求出圆心距，可得与两圆半径间的关系，由此可作出位置判断；
解答：解：（Ⅰ）设椭圆的左右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），
直线3x-2y=0与椭圆的一个交点坐标是，
根据椭圆的定义得：|MF₁|+|MF₂|=2a，
即，即4c=2a①，
又②，a²=b²+c²③，联立①②③三式解得，
所以椭圆的方程为：；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，直线与椭圆的一个交点为P（1，），F（1，0），
则以PF为直径的圆的方程是，圆心为（1，），半径为，；
以椭圆长轴为直径的圆的方程是x²+y²=4，圆心是（0，0），半径是2，
两圆心距为==2-，所以两圆内切．
点评：本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、圆与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．