Question

（2012•河西区一模）已知椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），离心率e=

2

2

，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，过椭圆的左焦点F₁且垂直于长轴的直线交椭圆于M、N两点，且|MN|=

2

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知直线l与椭圆相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ．试探究点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率和通径的长度，结合a²=b²+c²联立求出a，b的值，则椭圆的方程可求；
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设出直线方程的斜截式，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出两交点横坐标的和与积，从而求出纵坐标的乘积，利用OP⊥OQ得到x₁x₂+y₁y₂=0，把坐标乘积代入后求得m和k的关系，求出点O到直线l的距离，整体代入后可求得距离为定值，当斜率不存在时，直接求解P和Q的坐标，也能得到距离是相同的定值．

解答：解：（Ⅰ）因为e=

2

2

，所以

c

a

=

2

2

    ①
因为过椭圆的左焦点F₁且垂直于长轴的直线交椭圆于M、N两点，且|MN|=

2

，
经计算得

2b2

a

=

2

    ②
由a²=b²+c²，解①②得
a=

2

，b=1，c=1，
所以椭圆的方程为

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）1°当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y=kx+m，点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，联立得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0
所以△=8（2k²+1-m²）＞0
x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

，
于是y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

m2-2k2

2k2+1

因为OP⊥OQ，所以x₁x₂+y₁y₂=0
即

3m2-2k2-2

2k2+1

=0
所以m2=

2k2+2

3

此时△=

8(4k2+1)

3

＞0满足条件，
设原点O到直线l的距离为d，
则d=

|m|

k2+1

=

2k2+2 3 k2+1

=

6

3

．
2°当直线l的斜率不存在时，
因为OP⊥OQ，根据椭圆的对称性，不妨设直线OP、OQ的方程分别为y=x，y=-x，
可得P(

6

3

，

6

3

)，Q(

6

3

，-

6

3

)或P(-

6

3

，-

6

3

)，Q(-

6

3

，

6

3

)，
此时原点O到直线l的距离仍为

6

3

，
综上可得，原点O到直线l的距离为

6

3

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的位置关系，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用二次方程根与系数的关系解决有关问题，考查了学生的计算能力，是难题．