Question

4．使用带余除法证明，对任意正整数n，有（x-a）都是（xⁿ-aⁿ）的一个因式．并由此证明f（x）≡（x-a）•h（x）+f（a）．

Answer 1

分析 （xⁿ-aⁿ）=[（x-a）+a]ⁿ-aⁿ=C_n⁰（x-a）ⁿ+C_n¹（x-a）^n-1_•a+C_n²（x-a）^{n-2_•a2_+…+}C_n^n-1（x-a）^1•an-1，对任意正整数n，有（x-a）都是（xⁿ-aⁿ）的一个因式．进而可证明f（x）≡（x-a）•h（x）+f（a）．

解答 证明：（xⁿ-aⁿ）=[（x-a）+a]ⁿ-aⁿ=C_n⁰（x-a）ⁿ+C_n¹（x-a）^n-1_•a+C_n²（x-a）^{n-2_•a2_+…+}C_n^n-1（x-a）^1_•an-1₌（x-a）•[C_n⁰（x-a）^n-1+C_n¹（x-a）^n-2_•a+C_n²（x-a）^{n-3_•a2_+…+}C_n^n-1（x-a）^0•an-1]，
故对任意正整数n，有（x-a）都是（xⁿ-aⁿ）的一个因式．
∴即（x-a）|（xⁿ-aⁿ），
∴（x-a）|f（x）-f（a）．
令[f（x）-f（a）]÷（x-a）=h（x），
则f（x）≡（x-a）•h（x）+f（a）．

点评 本题考查的知识点是整除的基本性质，熟练掌握带余除法并正确理解其内涵，是解答的关键．