Question

已知四面体P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，，若四面体P-ABC的体积为，则该球的体积为    ．

Answer 1

【答案】分析：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=×2R，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．
解答：解：设该球的半径为R，
则AB=2R，2AC=AB=×2R，
∴AC=R，
由于AB是球的直径，
所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得：
BC²=AB²-AC²=R，
所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=，
又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P-ABC的体积为，
∴V_P-ABC=×R××R²=，
即R³=9，R³=3，
所以：球的体积V_球=×πR³=×π×3=4π．
故答案为：
点评：本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．