Question

已知函数 (R)．
(1)当时，求函数的极值；
（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．

Answer 1

（1）当时, 取得极大值为;
当时, 取得极小值为.
（2）a的取值范围是．

试题分析：（1）遵循“求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数值符号，确定极值”.
（2） 根据 = ，得到△= =  .
据此讨论：① 若a≥1，则△≤0，
此时≥0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增 .
计算f（0），,得到结论.
② 若a＜1，则△＞0，= 0有两个不相等的实数根，不妨设为．
有．  
给出当变化时，的取值情况表.
根据f（x₁）·f（x₂）＞0, 解得a＞．作出结论.
试题解析： （1）当时，，
∴.                    
令="0," 得 .                     2分
当时,, 则在上单调递增;
当时,, 则在上单调递减;
当时,, 在上单调递增.        4分             
∴ 当时, 取得极大值为;
当时, 取得极小值为.        6分
（2） ∵ = ，
∴△= =  .
①若a≥1，则△≤0，                            7分              
∴≥0在R上恒成立，
∴ f（x）在R上单调递增 .
∵f（0），,
∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．      9分  
② 若a＜1，则△＞0，
∴= 0有两个不相等的实数根，不妨设为．
∴．  
当变化时，的取值情况如下表：                       

x		x1	（x1，x2）	x2
	+	0	－	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

                                       11分
∵,
∴.
∴
=

.
同理.
∴


.
令f（x₁）·f（x₂）＞0, 解得a＞．
而当时,,         13分
故当时, 函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点.
综上所述，a的取值范围是．                 14分