Question

已知函数f（x）=

3x+1

x+a

（x≠-a，a≠

1

3

）．
（1）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）若函数f（x）的图象关于直线y=x对称，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）由y=

3x+1

x+a

，得y（x+a）=3x+1，（y-3）x=1-ay．由此能求出所求反函数．
（2）依题意得f^--1（x）=f（x），则

3x+1

x+a

=

1-ax

x-3

，由此能求出a．

解答：解：（1）设y=

3x+1

x+a

，
则y（x+a）=3x+1，（2分）
整理得（y-3）x=1-ay．（3分）
若y=3，则a=

1

3

，与已知矛盾，
∴y≠3．（4分）
∴x=

1-ay

y-3

．（5分）
故所求反函数为f^-1（x）=

1-ax

x-3

（x≠3）．（7分）
（2）依题意得f^--1（x）=f（x），
则

3x+1

x+a

=

1-ax

x-3

，（10分）
整理得3x²-8x-3=-ax²+（1-a²）x+a，
比较两边对应项的系数，（11分）
有

-a=3 a2-1=8 a=-3

故a=-3．（13分）

点评：本题考查反函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．