Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若对任意 恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=xlnx，

∴f'（x）=lnx+1，

∴f'（x）＞0有 ，∴函数f（x）在 上递增，f'（x）＜0有 ，

∴函数f（x）在 上递减，

∴f（x）在 处取得极小值，极小值为

（2）解：∵2f（x）≥﹣x2+mx﹣3

即mx≤2xlnx+x2+3，又x＞0，

∴ ，

令 ，

令h'（x）=0，解得x=1或x=﹣3（舍）

当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，函数h（x）在（0，1）上递减

当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上递增，

∴h（x）min=h（1）=4．

∴m≤4，

即m的最大值为4．

【解析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和极值之间的关系即可求f（x）的单调区间和极值；（2）利用不等式恒成立，进行参数分离，利用导数即可求出实数m的最大值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．