Question

【题目】设且恒成立．

（1）求实数的值；

（2）证明： 存在唯一的极大值点，且．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】试题分析：（1）将问题转化为恒成立的问题处理，分 和两种情况判断即可；（2）由（1）得，故问题可转化为有零点的问题，并进一步得到存在唯一的极大值点。然后根据函数的单调性可证得。

试题解析：

（1）解：由条件知恒成立，

∵，

∴恒成立，

令，则恒成立，

∴，

①当时， 在上单调递增，

又，

∴当时， ,与矛盾，不合题意。

②当时， 在单调递减，在单调递增，

∴ 当时， 有极小值，也为最小值，且最小值为。

又恒成立，

∴ ，

令

则，

∴在单调递增，在单调递减，而，

所以由解得，

综上．

（2）由条件得，

令，

所以在单调递减，在单调递增

又，

∴ ，

由零点存在定理及的单调性知，方程在有唯一根，设为且，

从而有两个零点和0，

所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，

从而存在唯一的极大值点，

由得，

∴

，等号不成立，所以，

又在单调递增，

所以，

综上可得成立．