Question

【题目】已知椭圆： 经过点，焦距为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线与椭圆交于不同的两点、，线段的垂直平分线交轴交于点，若，求的值.

Answer 1

【答案】(1) (2) 或.

【解析】试题分析：（1）根据题意可知，将点带入椭圆方程后联立方程组即可求得，即可得到椭圆得标准方程；(2) 设，线段中点坐标，由整理得： ，结合韦达定理，线段的中点坐标，由可得点坐标，再由线段的垂直平分线交轴交于点及，求得，从而求出的值.

试题解析：（1）由题意得，所以，

又点在椭圆上，

所以： ，

整理得： ，

解得： 或（舍），

∴，

∴椭圆的标准方程为： .

（2）设，线段中点坐标，

由整理得： ，

∴，

∴，

又， ，

∴，

∴，

∴线段的中点坐标为

又 ，

∴，

又，

∴，

∴点坐标为，

∴ ，

∵垂直平分，

∴，

又，

解得或（舍），

∴在中， ，

∴，

∴，

∴或.