Question

【题目】已知函数，.

（1）证明函数为奇函数；

（2）判断函数的单调性（无需证明），并求函数的值域；

（3）是否存在实数，使得的最大值为？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) 在上单调递增，值域为 (3)

【解析】

（1）证明函数为奇函数，首先判断定义域是否关于原点对称。奇函数还要满足.

（2）可通过改变函数单调性两个因素：取倒数和负号。较易判断单调性。单调性知道后值域就在端点出取得.

（3）首先令进行换元，注意换元后的定义域，将带有根式的函数换元成二次函数进行求解即可.

（1）,

的定义域为

又

奇函数.

（2）判断：在上单调递增

在上单调递增

，的值域为

（3）

令

则，

①时，在单调递增，

时，（符合题意）

②时，开口向下，对称轴，

当，即时，时，

；

当，即时，时，（符合题意）

③时，开口向上，对称轴，

当时，（符合题意）

综上：.