Question

给出以下三个命题，其中所有正确命题的序号为    ．
①设，均为单位向量，若|+|＞1，则
②函数f （x）=xsinx+l，当x₁，x₂∈[]，且|x₁|＞|x₂|时，有f（x₁）＞f（x₂），
③已知函数f （x）=|x²-2|，若f （a）=f （b），且0＜a＜b，则动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值为1．

Answer 1

【答案】分析：①设与的夹角为θ，将已知等式平方，结合向量模的含义和单位向量长度为1，化简整理可得•=-，再结合向量数量积的定义和夹角的范围，可得夹角θ的范围．
②先判断函数的奇偶性，易知是偶函数，同时再证明单调性，即可得到结论．
③由题意可得 a²-6=6-b²，从而即可求出a²+b²的值，利用直线与圆的位置关系可得动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值．
解答：解：①设与的夹角为θ，
∵|+|＞1，∴（+）²=²+2•+²＞1…（*）
∵向量，均为单位向量，可得||=||=1
∴代入（*）式，得1+2•+1=1＞1，所以•＞-
根据向量数量积的定义，得||•||cosθ＞-
∴cosθ＞-，结合θ∈[0，π]，得．①正确．
②由已知得f（x）是偶函数，且在区间[0，]上递增，
由|x₁|＞|x₂|得f（|x₁|）＞f（|x₂|），即有f（x₁）＞f（x₂），②正确；
③∵函数f（x）=|x²-2|，
若0＜a＜b，且f（a）=f（b），
∴b²-2=2-a²，
即 a²+b²=4，故动点P（a，b）在圆a²+b²=4上，
动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径：d-r==1，正确．
故答案为：①②③．
点评：本题主要考查向量的有关概念、导数的应用、函数的图象及综合应用能力．