Question

【题目】已知函数f（x）=是奇函数，g（x）=log2（2x+1）-bx是偶函数．

（1）求a-b；

（2）若对任意的t∈[-1，2]，不等式f（t2-2t-1）+f（2t2-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由奇、偶函数定义可得；（2）利用f（x）的奇偶性和单调性，将不等式转化为：k＞3t2-2t-1在t∈[-1，2]上恒成立，然后转化为最值，最后构造函数求出最大值即可．

（1）∵是奇函数，

∴f（-x）=-f（x），即=-，c化简得：（a+1）（ex+e-x）=0，

∴a+1=0，∴a=-1．

∵是偶函数，

∴g（-x）=g（x），即=，

化简得：（-1+2b）x=0 对一切实数恒成立，b=，

故a-b=-1-=-．

（2）由（1）知：f（x）==ex-e-x，∴f（x）是R上的奇函数且增函数．

∴f（t2-2t-1）+f（2t2-k）＜0 等价于f（t2-2t-1）＜-f（2t2-k）=f（k-2t2）

等价于t2-2t-1＜k-2t2，

即k＞3t2-2t-1对任意的t∈[-1，2]恒成立．

令h（t）=3t2-2t-1t∈[-1，2]，

则k＞h（t）max．

又h（t）=3t2-2t-1的对称轴为：t=∈[-1，2]

∴t=2时，h（t）max=h（2）=7，

∴k＞7

∴实数k的取值范围是：（7，+∞）．