Question

【题目】已知点，，均在圆上.

（1）求圆的方程；

（2）若直线与圆相交于、两点，求的长；

（3）设过点的直线与圆相交于、两点，试问：是否存在直线，使得以为直径的圆经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）和 .

【解析】

（1）根据圆心在，的中垂线直线上，设圆心的坐标为，根据求得的值，从而可得结果；（2）利用点到直线的距离公式，结合勾股定理即可得结果；（3）验证直线的斜率不存在时符合题意，若斜率存在，设直线的方程为，与联立，利用韦达定理，根据列出关于的方程，求出的值，从而可得结果.

（1）依题知，圆心在，的中垂线直线上，

设圆心的坐标为，则，

两边平方，解得，即圆心，

半径，

圆的方程为.

（2）圆心 到直线的距离为

，

.

（3）设，，依题意知：，且，的斜率均存在，

即，，

①当直线的斜率不存在时，：，则，

满足，故直线：满足题意.

②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，

由消去得， ，

则，

由得， ，

即 ，解得，

直线的方程为.

综上可知，存在满足条件的直线和.