Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+ax在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1
（1）求a的值
（2）若 ，证明：当x＞1时，
（3）对于在（0，1）中的任意一个常数b，是否存在正数x0 ， 使得： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=lnx+ax的导数为f′（x）= +a，

在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1，

可得f′（t）= +a=2，f（t）=2t﹣1=lnt+at，

解得a=t=1；

（2）证明：由（1）可得f（x）=lnx+x，

要证当x＞1时， ，

即证lnx＞k（1﹣ ）﹣1（x＞1），

即为xlnx+x﹣k（x﹣3）＞0，

可令g（x）=xlnx+x﹣k（x﹣3），g′（x）=2+lnx﹣k，

由 ，x＞1，可得lnx＞0，2﹣k≥0，

即有g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）递增，

可得g（x）＞g（1）=1+2k≥0，

故当x＞1时， 恒成立；

（3）解：对于在（0，1）中的任意一个常数b，

假设存在正数x0，使得： ．

由ef（x0+1）﹣2x0﹣1+ x02=eln（x0+1）﹣x0+ x02=（x0+1）e﹣x0+ x02．

即对于b∈（0，1），存在正数x0，使得（x0+1）e﹣x0+ x02﹣1＜0，

从而存在正数x0，使得上式成立，只需上式的最小值小于0即可．

令H（x）=（x+1）e﹣x+ x2﹣1，H′（x）=e﹣x﹣（x+1）e﹣x+bx=x（b﹣e﹣x），

令H′（x）＞0，解得x＞﹣lnb，令H′（x）＜0，解得0＜x＜﹣lnb，

则x=﹣lnb为函数H（x）的极小值点，即为最小值点．

故H（x）的最小值为H（﹣lnb）=（﹣lnb+1）elnb+ ln2b﹣1= ln2b﹣blnb+b﹣1，

再令G（x）= ln2x﹣xlnx+x﹣1，（0＜x＜1），

G′（x）= （ln2x+2lnx）﹣（1+lnx）+1= ln2x＞0，

则G（x）在（0，1）递增，可得G（x）＜G（1）=0，则H（﹣lnb）＜0．

故存在正数x0=﹣lnb，使得 ．

【解析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得a的值；（2）求出f（x）=lnx+x，要证原不等式成立，即证xlnx+x﹣k（x﹣3）＞0，可令g（x）=xlnx+x﹣k（x﹣3），求出导数，判断符号，可得单调性，即可得证；（3）对于在（0，1）中的任意一个常数b，假设存在正数x0 ， 使得： ．运用转化思想可令H（x）=（x+1）e﹣x+ x2﹣1，求出导数判断单调性，可得最小值，即可得到结论．