Question

（本小题满分14分）已知椭圆上的点到左右两焦点的距离之和为，离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过右焦点的直线交椭圆于两点.

（1）若轴上一点满足，求直线斜率的值；

（2）是否存在这样的直线，使的最大值为（其中为坐标原点）？若存在，求直线方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（1）

（2）

【解析】

试题分析：根据题中的条件，可知椭圆的实轴长为已知的，从而得出a的值，再根据离心率的值，可知c的值，从而得出b的值，椭圆的方程就可以求出，对于第二问中的第一小题，能够得出M是弦的中点，根据有关中点弦的问题来解决即可，对于第二小题，注意三角形的面积的求解，转化为求函数的最值问题.

试题解析：（Ⅰ），∴ 1分

，∴， ∴ 2分

椭圆的标准方程为 3分

（Ⅱ）已知,设直线的方程为，

联立直线与椭圆方程，化简得：

∴， 4分

∴的中点坐标为 5分

①当时，，

整理得解得或 7分

②当时，的中垂线方程为，满足题意.

∴斜率的取值为. 8分

（2）当直线斜率不存在时，此时

9分

当直线斜率存在时

由（1）知

10分

而原点到直线的距离 11分

所以 12分

综上，

所以满足题意的直线存在，方程为. 14分

考点：椭圆的方程，椭圆的中点弦所在的直线的斜率，直线被曲线所截得的弦长问题，三角形的面积的有关问题.

考点分析： 考点1：椭圆的标准方程 考点2：椭圆的几何性质 试题属性

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