Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，点也为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点.

（Ⅰ）若点满足，求直线的方程；

（Ⅱ）为直线上任意一点，过点作的垂线交椭圆于两点，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由抛物线C2：y2＝8x得F2（2，0），当直线l斜率不存在，即l：x=2时，满足题意.当直线l斜率存在，设l：y=k（x-2）（k≠0），A，B，与抛物线方程联立可得，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得AB的中点，由|PA|=|PB|，可得PG⊥l，kPGk=-1，解得k即可得出；（Ⅱ）F2（2，0），可得椭圆C1的方程，设T点的坐标为（-3，m），则直线TF1的斜率kTF1=-m.当m≠0时，直线MN的斜率kMN＝，直线MN的方程是x=my-2，

当m=0时，上述方程.设M ，N ，与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系、两点之间的距离公式及其基本不等式的性质即可得出

试题解析：（Ⅰ）由抛物线得方程， ………分,

当直线斜率不存在，即时，满足题意. ……… 分,

当直线斜率存在，设，

联立 …… 分,

设的中点为，则，，，，直线：或 ……… 分,

（Ⅱ）∵，设T点的坐标为，……… 分,

则，∴可设直线. ，则，

得，……… 分

，，

当且仅当，即时，取得最小值.