Question

【题目】已知数列满足： ， ．

（）求， ， 的值．

（）求证：数列是等比数列．

（）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）， ， ；（2）见解析；（3）

【解析】试题分析：

（1）根据递推关系求值即可．（2）由递推关系可得，与原式相减可得，即，于是可得数列是以为首项，以为公比的等比数列．（3）由（）可得，故，作差判断可得数列前三项递增，从第四项开始递减，于是可得数列的最大项为．由题意可得恒成立，于是，解不等式可得所求范围．

试题解析：

（）由题意， ， ， ，

计算可得， ， ．

（）由题意可得， ，

，

两式相减得，

即，

∴，

又，

∴数列是以为首项，以为公比的等比数列．

（）由（）可得，

∴，

∴，

由，得；

由可得，

∴，

∴数列有最大值，

∴对任意，有，

∵对任意的，有，即恒成立，

∴，整理得

解得或．

∴实数的取值范围是．