Question

正三棱锥P-ABC的底面边长为a，E、F、G、H分别是PA、AC、BC、PB的中点，四边形EFGH面积记为S_（x），则S_（x）的取值范围是______．

Answer 1

∵棱锥P-ABC为底面边长为a的正三棱锥，
∴AB⊥PC，
又∵E，F，G，H，分别是PA，AC，BC，PD的中点，
∴EH=FG=

1

2

AB，，EF=HG=

1

2

PC，
则四边形EFGH为一个矩形，
∵正三棱锥P-ABC的底面边长为a，
作CD⊥AB，交AB于D，则CD=

a2- 1 4 a2

=

3

2

a，
作PO⊥CD，交CD于O，则CO=

2

3

CD=

3

3

a，
在Rt△POC中，∵∠POC=90°，
∴PC＞CO=

3 a

3

，∴EF＞

3

6

a，
∴四边形EFGH的面积为S＞

3 a2

12

，
故答案为：（

3 a2

12

，+∞）．