题目内容

正三棱锥P-ABC的底面边长为a,E、F、G、H分别是PA、AC、BC、PB的中点,四边形EFGH面积记为S(x),则S(x)的取值范围是
3
a2
12
,+∞)
3
a2
12
,+∞)
分析:由棱锥P-ABC为底面边长为a的正三棱锥,知AB⊥PC,由E,F,G,H,分别是PA,AC,BC,PD的中点,知EH=FG=
1
2
AB,由此能求出四边形EFGH的面积.
解答:解:∵棱锥P-ABC为底面边长为a的正三棱锥,
∴AB⊥PC,
又∵E,F,G,H,分别是PA,AC,BC,PD的中点,
∴EH=FG=
1
2
AB,,EF=HG=
1
2
PC,
则四边形EFGH为一个矩形,
∵正三棱锥P-ABC的底面边长为a,
作CD⊥AB,交AB于D,则CD=
a2-
1
4
a
2
=
3
2
a

作PO⊥CD,交CD于O,则CO=
2
3
CD=
3
3
a

在Rt△POC中,∵∠POC=90°,
∴PC>CO=
3
a
3
,∴EF>
3
6
a,
∴四边形EFGH的面积为S>
3
a2
12

故答案为:(
3
a2
12
,+∞).
点评:本题考查三角取值范围,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
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