Question

已知曲线C：y=3x-x³及点P（2，2），过点P向曲线C引切线，则切线的条数为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：求函数的导数，设切点为M（a，b），利用导数的几何意义，求切线方程，利用点P（2，2）在切线上，求出切线条数即可．

解答：解：∵y=3x-x³，
∴y'=f'（x）=3-3x²，
∵P（2，2）不知曲线C上，
∴设切点为M（a，b），则b=3a-a³，
f'（a）=3-3a²
则切线方程为y-（3a-a³）=（3-3a²）（x-a），
∵P（2，2）在切线上，
∴2-（3a-a³）=（3-3a²）（2-a），即2a³-6a²+4=0，
∴a³-3a²+2=0，即a³-a²-2a²+2=0，
∴（a-1）（a²-2a-2）=0，
解得a=1或a=1±

3

，
∴切线的条数为3条，
故选D．

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及导数的基本运算，考查学生的运算能力．注意点P不在曲线上，所以必须单独设出切点．