题目内容
已知曲线C的极坐标方程为ρ2=
；
（Ⅰ）若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，求3x+4y的最大值．
| 36 | 4cos2θ+9sin2θ |
（Ⅰ）若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，求3x+4y的最大值．
分析：（Ⅰ）由ρ2=
得4ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=36，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式即可得出．
（Ⅱ）设P（3cosθ，2sinθ），则3x+4y=9cosθ+8sinθ=
sin(θ+φ)，可知当sin（θ+φ）=1时，3x+4y取得最大值．
| 36 |
| 4cos2θ+9sin2θ |
（Ⅱ）设P（3cosθ，2sinθ），则3x+4y=9cosθ+8sinθ=
| 145 |
解答：解：（Ⅰ）由ρ2=
得4ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=36，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式可得：4x2+9y2=36．
化为
+
=1，
∴曲线C的直角坐标方程为
+
=1．
（Ⅱ）设P（3cosθ，2sinθ），
则3x+4y=9cosθ+8sinθ=
sin(θ+φ)，
∵θ∈R，
∴当sin（θ+φ）=1时，3x+4y的最大值为
．
| 36 |
| 4cos2θ+9sin2θ |
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式可得：4x2+9y2=36．
化为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
∴曲线C的直角坐标方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
（Ⅱ）设P（3cosθ，2sinθ），
则3x+4y=9cosθ+8sinθ=
| 145 |
∵θ∈R，
∴当sin（θ+φ）=1时，3x+4y的最大值为
| 145 |
点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式、椭圆的参数方程的应用，属于中档题．
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