Question

已知函数f(x)=

1

2

x-sinx，其中x∈[0，2π]，求函数f（x）的单调区间和最值．

Answer 1

分析：先求导数，因为是求出单调区间，根据函数的单调区间求出函数的最值．

解答：解：∵函数y=

1

2

（x-2sinx），∴y′=

1

2

（1-2cosx）．
令y′＜0，可得 cosx＞

1

2

．
又 x∈[0，2π]，故当x∈（0，

π

3

）或x∈（

5π

3

，2π）时，y′＜0，函数y单调递减．
同理可得，x∈（

π

3

，

5π

3

） 时，y′＞0，函数y单调递增．
故最小值在x=

π

3

 或x=2π处取得，
而当x=

π

3

时，函数f（x）的值等于

π-3 3

6

，当x=2π时，函数f（x）的值等于π，
故当x=

π

3

时，函数f（x）有最小值等于

π-3 3

6

．
由题意可得最大值在x=0 或x=

5π

3

处取得，
而当x=0时，函数f（x）的值等于0，当x=

5π

3

时，函数f（x）的值等于

5π+3 3

6

，
故当x=

5π

3

时，函数f（x）取得最大值等于

5π+3 3

6

．
综上可得，当x=

π

3

时，函数f（x）有最小值等于

π-3 3

6

；
当x=

5π

3

时，函数f（x）取得最大值等于

5π+3 3

6

．

点评：本题主要考查用导数法求函数的单调区间，尤其要注意三角函数的求导公式以及函数的定义域，根据函数的单调区间求出函数的最值，属于基础题．