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数列{a
n
}中，
S
2n
=a
1
+a
2
+…+a
2n
,则
_________.
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解析：
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如果由数列{a
n
}生成的数列{b
n
}满足对任意的n∈N
*
均有b
n+1
＜b
n
，其中b
n
=a
n+1
-a
n
，则称数列{a
n
}为“Z数列”．
（Ⅰ）在数列{a
n
}中，已知a
n
=-n
2
，试判断数列{a
n
}是否为“Z数列”；
（Ⅱ）若数列{a
n
}是“Z数列”，a
1
=0，b
n
=-n，求a
n
；
（Ⅲ）若数列{a
n
}是“Z数列”，设s，t，m∈N
*
，且s＜t，求证：a
t+m
-a
s+m
＜a
t
-a
s
．
（1）若对于任意的n∈N
*
，总有
n+2
n(n+1)
=
A
n
+
B
n+1
成立，求常数A，B的值；
（2）在数列{a
n
}中，
a
1
=
1
2
，
a
n
=2
a
n-1
+
n+2
n(n+1)
（n≥2，n∈N
*
），求通项a
n
；
（3）在（2）题的条件下，设
b
n
=
n+1
2(n+1)
a
n
+2
，从数列{b
n
}中依次取出第k
1
项，第k
2
项，…第k
n
项，按原来的顺序组成新的数列{c
n
}，其中
c
n
=
b
k
n
，其中k
1
=m，k
n+1
-k
n
=r∈N
*
．试问是否存在正整数m，r使
lim
n→+∞
(
c
1
+
c
2
+…+
c
n
)=S
且
4
61
＜S＜
1
13
成立？若存在，求正整数m，r的值；不存在，说明理由．
2、若数列A
n
：a
1
，a
2
，…，a
n
（n≥2）满足|a
k+1
-a
k
|=1（k=1，2，…，n-1），则称A
n
为E数列，记S（A
n
）=a
1
+a
2
+…+a
n
．
（Ⅰ）写出一个E数列A
5
满足a
1
=a
3
=0；
（Ⅱ）若a
1
=12，n=2000，证明：E数列A
n
是递增数列的充要条件是a
n
=2011；
（Ⅲ）在a
1
=4的E数列A
n
中，求使得S（A
n
）=0成立得n的最小值．
将数列{a
n
}中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：记表中的第一列数a
1
，a
4
，a
8
，…构成的数列为{b
n
}，已知：
①在数列{b
n
}中，b
1
=1，对于任何n∈N
*
，都有（n+1）b
n+1
-nb
n
=0；
②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q（q＞0）的等比数列；
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
a
10
a
11
a
12
…
③
a
66
=
2
5
．请解答以下问题：
（Ⅰ）求数列{b
n
}的通项公式；
（Ⅱ）求上表中第k（k∈N
*
）行所有项的和S（k）；
（Ⅲ）若关于x的不等式
S(k)+
1
k
＞
1-
x
2
x
在
x∈[
1
200
，
1
20
]
上有解，求正整数k的取值范围．
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