Question

【题目】如图所示，在三棱锥中，底面，，，，为的中点.

（1）求证：；

（2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）由余弦定理求出BC，因为为的中点，得BD＝CD，因为，平方求出AD，利用勾股定理得AB⊥AD，结合PA⊥AD，得AD⊥平面PAB，从而AD⊥PB得证．

（2）分别以直线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设PA＝a，求出平面PBC的法向量，平面PAB的法向量，利用向量法求出a，然后求解VP﹣ABC＝×S△ABC×PA即可．

（1）在中，由余弦定理得，则．

因为为的中点，则．

因为，则

，所以．

因为，则．

因为底面，则，所以平面，从而．

（2）分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．

设，则点，，，所以，．

设平面的法向量为，则，即，

取，则，，所以．

因为为平面的法向量，

则，即．

所以，解得，所以．

所以．