Question

已知关于x的方程ax²-2bx+2-b=0（a＞0）的两根分别在区间（0，1）与（1，2）内．
（Ⅰ）求出a、b所满足的不等关系式；
（Ⅱ）若z=a-2b，求z的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用二次函数的性质和函数零点的判定定理即可得出；
（2）作出可行域，平移目标函数和利用截距的意义即可得出．

解答：解：（I）设f（x）=ax²-2bx+2-b，（a＞0）．
由题意可得

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，即

2-b＞0 a-2b+2-b＜0 4a-4b+2-b＞0

，化为

2-b＞0 a-3b+2＜0 4a-5b+2＞0

，
故所求的不等关系为

a＞0 2-b＞0 a-3b+2＜0 4a-5b+2＞0

．（*）
（II）不等式组（*）表示的区域为平面aOb上三条直线：2-b=0，a-3b+2=0，4a-5b+2=0．
所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为A(

4

7

，

6

7

)，B（2，2），C（4，2）．
∵z=a-2b，∴b=

1

2

a-

1

2

z，
在平面aOb上作直线l₀：b=

a

2

．
将此直线平移至与可行域相交，当直线l经过点C（4，2）时z_max=4-2×2=0．
当直线l经过点B（2，2）时z_min=2-2×2=-2．
综上可知z的取值范围为（-2，0）．

点评：熟练掌握二次函数的性质和函数零点的判定定理、正确作出可行域、线性规划的有关知识等是解题的关键．