题目内容
已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
思路解析:a+b=1的充分条件是a3+b3+ab-a2-b2=0,需证“a3+b3+ab-a2-b2=0 证明:(必要性)∵ a+b=1,即a+b-1=0, ∴ a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2+b2-ab)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. (充分性)∵ a3+b3+ab-a2-b2=0,即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0, 而ab≠0, ∴ a≠0且b≠0. 而a2-ab+b2=(a- 综上,可知当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 误区警示 这种题在进行证明时有时误将充分性当必要性,又将必要性当充分性来证,故首先要分清条件与结论是什么. 另外,该例的叙述格式是B成立的充要条件是A,因此由A
a+b=1”.反之,是必要性.
)2+
b2＞0,∴ a+b-1=0,即a+b=1.
B是充分性,由B
A是必要性.若叙述格式是p是q的充要条件,则由p
q是充分性,由q
p是必要性.
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