Question

已知数列是首项为1，公差为1的等差数列；

是公差为d的等差数列；是公差为d²的等差数列（d≠0）.

（Ⅰ）若a₂₀ = 30，求d；（Ⅱ）试写出a₃₀关于d的关系式，并求a₃₀的取值范围：

（Ⅲ）续写已知数列，可以使得是公差为d³的等差数列，请你依次类推，把已知数列推广为无穷数列，提出同（Ⅱ）类似的问题，（（Ⅱ）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意：a₁₀ = 1 + 9·1 = 10，

      a₂₀ = a₁₀ + 10d = 10 + 10d

         则 10 + 10d = 30，

        ∴d = 2.

（Ⅱ）∵a₃₀ = a₂₀ + 10d ²， a₂₀ = 10 + 10d,

        

   ， 

    当时，

（Ⅲ）所给数列可推广为无穷数列{a_n}，其中是首项为1公差为1的等差数列.

当n≥1时，数列是公差为d ⁿ的等差数列.

研究的问题可以是：

试写出a_10(n+1)关于d的关系式，并求a_10(n+1)的取值范围.…

研究的结论可以是：由a₄₀ = a₃₀ + 10d³ = 10 (1+d + d² + d³)，

      依次类推可得   a_10(n+1) = 10 (1+d + d² +…+d ⁿ)

                           = ，

      当d > 0时，a_10(n+1)的取值范围为等.