Question

（本题满分12分）如图，在长方体中，已知上下两底面为正方形，且边长均为1；侧棱，为中点，为中点，为上一个动点.

（Ⅰ）确定点的位置，使得；
（Ⅱ）当时，求二面角的平
面角余弦值.

Answer 1

(1)根据已知中的线线垂直关系， 来结合线面垂直的判定定理来分析线面垂直，这类试题先是猜想点的位置，然后加以证明。
(2)

试题分析：方法一：
(Ⅰ)如图，

分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则
易得 ………………2分
由题意得,设
又
则由得，
∴,得为的四等分点.………………………6分
(Ⅱ)易知平面的一个法向量为，设平面的法向量为
则,得，取，得， ……………10分
∴，∴二面角的平面角余弦值为.12分
方法二：
（Ⅰ）∵在平面内的射影为，且四边形为正方形，为中点， ∴
同理，在平面内的射影为，则
由△～△， ∴,得为的四等分点. …………………6分
（Ⅱ）∵平面,过点作，垂足为；
连结，则为二面角的平面角；…………………………8分
由，得,解得
∴在中，,
∴；∴二面角的平面角余弦值为. …12分
点评：解决该试题的关键是能合理的根据结论 ，逆向求点点M的位置，进而结合向量法或者是几何性质法求解二面角，属于中档题。