Question

某中学从高中三个年级选派2名教师和10名学生去外校考察学习，学生的名额分配如下：

高一年级	高二年级	高三年级
3人	5人	2人

（1）若从10名学生中选出2人做组长，求他们中恰好有1人是高二年级学生的概率；
（2）若将2名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高二年级的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）设“他们中恰好有1人是高二年级学生”为事件A，则事件A中含一名高二学生和一名非高二学生．由此能求出他们中恰好有1人是高二年级学生的概率．
（2）解法1：ξ的所有取值为0，1，2．由题意可知，每位教师选择高二年级的概率均为

1

3

．分别求出P（ξ=0）；P（ξ=1）；P（ξ=2）．由此能求出随机变量ξ的分布列和Eξ．
解法2：由题意知，每位教师选择高一年级的概率均为

1

3

，则ξ～B（2，

1

3

），由此能求出随机变量ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）设“他们中恰好有1人是高二年级学生”为事件A，
则P（A）=

C 1 5 • C 1 5

C 2 10

=

5

9

，
故所求概率为

5

9

．…（6分）
（2）解法1：ξ的所有取值为0，1，2．由题意可知，每位教师选择高二年级的概率均为

1

3

．
所以P（ξ=0）=

C

0 2

(

1

3

)0(

2

3

)2=

4

9

；
P（ξ=1）=C

1 2

（

1

3

）（

2

3

）=

4

9

；
P（ξ=2）=

C

2 2

（

1

3

）²（

2

3

）⁰=

1

9

．…..（10分）
随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	4 9	4 9	1 9

∴Eξ=0×

4

9

+1×

4

9

+2×

1

9

=

2

3

．
解法2：由题意知，每位教师选择高一年级的概率均为

1

3

，
则随机变量ξ服从参数为2，

1

3

的二项分布，即ξ～B（2，

1

3

），
∴随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	4 9	4 9	1 9

∴Eξ=np=2×

1

3

=

2

3

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的合理运用．