Question

已知点P，A，B，C是球O表面上的四个点，且PA，PB，PC两两成60°角，PA=PB=PC=4cm，则球的表面积为

 

cm²．

Answer 1

分析：根据条件判断四面体是正四面体，利用正四面体构造正方体，则正方体的体对角线长就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．

解答：解：∵点P，A，B，C是球O表面上的四个点，且PA，PB，PC两两成60°，PA=PB=PC=4cm，
∴AB=BC=CA=PA=4cm，
即四面体是正四面体，利用正四面体构造正方体，
则正方体的对角线长就是球的直径，
∵PA=PB=PC=4cm，
∴正方体的棱长为2

2

cm，
∴正方体的体对角线长为

3

•2

2

=2

6

cm，
设球的半径为R，
则2R=2

6

，
∴R=

6

，
∴球的表面积为：4πR²=4π×(

6

)2=24π （cm²）
故答案为：24π．

点评：本题主要考查正四面体与球的位置关系，以及球的表面积的求法，利用正四面体构造正方体，利用正方体和外接球的关系是解决本题的关键，考查计算能力转化思想以及空间想象能力．