Question

已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形．若PA=2

2

，则球O的体积为

32

3

π

．

Answer 1

分析：由点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，将P，A，B，C，D补全为长方体ABCD-A′B′C′D′，让P与A′重合，则球O为该长方体的外接球，长方体的对角线PC即为球O的直径．由此能求出球O的体积．

解答：解：∵点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，
∴将P，A，B，C，D补全为长方体ABCD-A′B′C′D′，
让P与A′重合，则球O为该长方体的外接球，长方体的对角线PC即为球O的直径．
∵ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2

2

，
∴PC²=AP²+AC²=8+8=16，
∴2R=4，R=OP=2，
球O的体积为V=

4

3

×π×23=

32

3

π．
故答案为：

32

3

π．

点评：本题考查直线与平面垂直的性质，考查球内接多面体的应用，“补形”是关键，考查分析、转化与运算能力，属于中档题．