Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，对角线相交于点O，PA⊥底面ABCD。
（Ⅰ）当E为PA的中点时，求证：PC∥平面EBD；
（Ⅱ）在侧棱PB上是否存在一点F，使得OF⊥AB，若存在，请说出点F的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接EO， 由已知，得O是AC的中点，E为PA的中点， ∴EO∥PC， 又∵EO平面EBD，PC平面EBD， ∴PC∥平面EBD； （Ⅱ）答：存在，且点F是侧棱PB的中点， 在平面PAB内作FH⊥AB，H为垂足，连接HO，OF， 由已知，得PA⊥AB， ∴FH∥PA， ∴H是AB的中点， 又∵O是AC的中点， ∴OH∥CB， 由已知，得CB⊥AB， ∴OH⊥AB， ∵FH∩OH=H， ∴AB⊥平面HOF， 又∵OF平面HOF， ∴OF⊥AB。