Question

4．已知函数f（x）=log_a（x+1）-1（a＞0且a≠1），函数g（x）的图象是由函数f（x）的图象沿向量$\overrightarrow{a}$=（-2，1）平移得到的，解关于x的不等式：2f（x）-g（x）+2≤0．

Answer 1

分析 由题意和函数图象变换可得g（x）解析式，可得不等式为log_a$\frac{（x+1）^{2}}{x+3}$≤0，结合对数的性质分类讨论可得．

解答 解：由题意和函数图象变换可得g（x）=log_a（x+2+1）-1+1=log_a（x+3），
则关于x的不等式2f（x）-g（x）+2≤0可化为2log_a（x+1）-2-log_a（x+3）+2≤0，
整理可得log_a$\frac{（x+1）^{2}}{x+3}$≤0，
当a＞1时，可得0＜$\frac{（x+1）^{2}}{x+3}$≤1，解得-2≤x≤1，即解集为{x|-2≤x≤1}；
当0＜a＜1时，可得$\frac{（x+1）^{2}}{x+3}$≥1，解得-3＜x≤-2或x≥1，即解集为{x|-3＜x≤-2或x≥1}．

点评 本题考查不等式的解法，涉及函数图象变换和对数函数以及分类讨论，属中档题．