Question

在数列{a_n}中，a₁=a₂=1，a_n+1+（n-1）a_n-1=（n+1）a_n，n=2，3，4，…．关于数列{a_n}给出下列四个结论：
①数列{a_n+1-na_n}是常数列；                   
②对于任意正整数n，有a_n≤a_n+1成立；
③数列{a_n}中的任意连续3项都不会成等比数列；   
④

n

k=1

ak

ak+2

=

n

n+1

．
其中全部正确结论的序号是

①②③④

．

Answer 1

分析：①由a_n+1+（n-1）a_n-1=（n+1）a_n，可得（a_n+1-na_n）-[a_n-（n-1）a_n-1]=0，从而可知数列{a_n+1-na_n}是常数列；                   
②由①知，a_n+1-na_n=0，从而可得

an+1

an

=n，故对于任意正整数n，有a_n≤a_n+1成立；
③由②知，数列{a_n}中的任意连续3项都不会成等比数列；   
④确定

an

an+2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项法，可求和．

解答：解：①∵a_n+1+（n-1）a_n-1=（n+1）a_n，
∴（a_n+1-na_n）-[a_n-（n-1）a_n-1]=0
∵a₁=a₂=1，∴a₂-a₁=0，
∴数列{a_n+1-na_n}是常数列；                   
②由①知，a_n+1-na_n=0，∴

an+1

an

=n，∴对于任意正整数n，有a_n≤a_n+1成立；
③由②知，数列{a_n}中的任意连续3项都不会成等比数列；   
④∵

an+1

an

=n，

an+2

an+1

=n+1，∴

an

an+2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

n

k=1

ak

ak+2

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

．
综上，正确结论的序号是①②③④
故答案为①②③④

点评：本题考查数列递推式，考查裂项法求数列的和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．