题目内容

已知a，b，c∈R+，a+b+c=1，求证：
1
a
+
1
b
+
1
c
≥9．
分析：根据条件可化为
1
a
+
1
b
+
1
c
=
a+b+c
a
+
a+b+c
b
+
a+b+c
c
，应用基本不等式即可证得结论．
解答：证明：由题意知
1
a
+
1
b
+
1
c
=
a+b+c
a
+
a+b+c
b
+
a+b+c
c

=3+（
b
a
+
a
b
）+（
c
a
+
a
c
）+（
b
c
+
c
b
）
∴
b
a
+
a
b
≥2，
c
a
+
a
c
≥2，
b
c
+
c
b
≥2．
当且仅当a=b=c时，取等号，
∴
1
a
+
1
b
+
1
c
≥9．
点评：本题考查基本不等式，难点在于对条件的合理转化即
1
a
+
1
b
+
1
c
=
a+b+c
a
+
a+b+c
b
+
a+b+c
c
的转化，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
50、已知a，b，c∈R，证明：a2+4b2+9c2≥2ab+3ac+6bc．
证明：
（1）已知x，y都是正实数，求证：x3+y3≥x2y+xy2，
（2）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2 ≥ 
13
．
已知a，b，c∈R+且满足a+2b+3c=1，则
1
a
+
1
2b
+
1
3c
的最小值为
9
9
．
（1）已知a，b，c∈R，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥
1
3
；
（2）a，b，c为互不相等的正数，且abc=1，求证：
1
a
+
1
b
+
1
c
＞
a
+
b
+
c
．
已知a，b，c∈R，且a＞b，那么下列不等式中成立的是（　　）

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