题目内容

12.设数列{an}的前n项和为Sn.且S1=2,Sn+1=2Sn+2(n∈N*),bn=Sn+2.
(1)求证:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)若数列{cn}满足cn=$\frac{{a}_{1}-1}{2}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$(n∈N*),求{cn}的前n项和Tn.

分析 (1)易知b1=S1+2=4,由Sn+1=2Sn+2可得bn+1=2bn,从而证明;
(2)由(1)知Sn=2n+1-2,从而讨论求数列的通项公式;
(3)化简cn=n-($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$)=n-1+$\frac{1}{{2}^{n}}$,从而拆项求其和.

解答 解:(1)证明:b1=S1+2=4,
∵Sn+1=2Sn+2,∴Sn+1+2=2Sn+4=2(Sn+2),
∴bn+1=2bn,
故数列{bn}是以4为首项,2为公比的等比数列;
(2)由(1)知,bn=Sn+2=4•2n-1=2n+1,
故Sn=2n+1-2,
当n=1时,a1=S1=2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n+1-2)-(2n-2)=2n,
当n=1时上式也成立,
故an=2n;
(3)cn=$\frac{{a}_{1}-1}{2}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=$\frac{2-1}{2}$+$\frac{{2}^{2}-1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$
=n-($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$)=n-1+$\frac{1}{{2}^{n}}$,
故Tn=0+$\frac{1}{2}$+(1+$\frac{1}{{2}^{2}}$)+…+(n-1+$\frac{1}{{2}^{n}}$)
=$\frac{0+n-1}{2}$•n+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1}{2}$n(n-1)+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$.

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用,同时考查了分类讨论的思想应用及拆项法的应用.

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