Question

已知椭圆G经过点P(

3

，

1

2

)，且一个焦点为(-

3

，0)．过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线l交椭圆G于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆的方程，利用椭圆G经过点P(

3

，

1

2

)，且一个焦点为(-

3

，0)，建立方程，求得几何量，即可求得椭圆G的方程；
（Ⅱ）由题意知，|m|≥1，分类讨论：当m=±1时，|AB|=

3

；当|m|＞1时，设l的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及l与圆x²+y²=1相切，可表示|AB|，利用基本不等式可求最值，从而可得结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意，设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵椭圆G经过点P(

3

，

1

2

)，且一个焦点为(-

3

，0)．
∴

3

a2

+

1

4b2

=1，a²-b²=3
∴a²=4，b²=1
∴椭圆G的方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）由题意知，|m|≥1
当m=±1时，切线l的方程为x=±1，此时|AB|=

3

；
当|m|＞1时，设l为y=k（x-m），代入椭圆方程可得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0
设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8k2m

1+4k2

，x₁x₂=

4k2m2-4

1+4k2

∵l与圆x²+y²=1相切，∴

|km|

k2+1

=1，即m²k²=k²+1
∴|AB|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 3 |m|

m2+3

=

4 3

|m|+ 3 |m|

≤2（当且仅当m=±

3

时取等号）
∴|AB|的最大值为2．

点评：本题考查椭圆的性质与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，考查韦达定理的运用，正确运用韦达定理是关键．