题目内容
已知椭圆G经过点P(
，
)，且一个焦点为(-
，0)．过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．
（Ⅰ）由题意，设椭圆的方程为
+
=1(a＞b＞0)
∵椭圆G经过点P(
，
)，且一个焦点为(-
，0)．
∴
+
=1，a2-b2=3
∴a2=4，b2=1
∴椭圆G的方程为
+y2=1；
（Ⅱ）由题意知，|m|≥1
当m=±1时，切线l的方程为x=±1，此时|AB|=
；
当|m|＞1时，设l为y=k（x-m），代入椭圆方程可得（1+4k2）x2-8k2mx+4k2m2-4=0
设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=
∵l与圆x2+y2=1相切，∴
=1，即m2k2=k2+1
∴|AB|=
×
=
=
≤2（当且仅当m=±
时取等号）
∴|AB|的最大值为2．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∵椭圆G经过点P(
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
∴
| 3 |
| a2 |
| 1 |
| 4b2 |
∴a2=4，b2=1
∴椭圆G的方程为
| x2 |
| 4 |
（Ⅱ）由题意知，|m|≥1
当m=±1时，切线l的方程为x=±1，此时|AB|=
| 3 |
当|m|＞1时，设l为y=k（x-m），代入椭圆方程可得（1+4k2）x2-8k2mx+4k2m2-4=0
设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=
| 8k2m |
| 1+4k2 |
| 4k2m2-4 |
| 1+4k2 |
∵l与圆x2+y2=1相切，∴
| |km| | ||
|
∴|AB|=
| 1+k2 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
4
| ||
| m2+3 |
4
| ||
|m|+
|
| 3 |
∴|AB|的最大值为2．
练习册系列答案
相关题目
的离心率为
，且右顶点为A（2，0）．