题目内容

无穷数列{an}满足an+1=3an-4，（n∈N*），且{an}是有界数列，则该数列的通项公式为
an=2
an=2
．
分析：在an+1=3an-4两边同时减去2并整理得出an+1-2=3（an-2），由于{an}是有界数列，只能有an-2=0，否则根据等比数列的通项公式求得an=（a1-2）3n+2，可知此时矛盾．
解答：解：在an+1=3an-4两边同时减去2并整理得出an+1-2=3（an-2），
由于{an}是有界数列，所以必有an-2=0
否则{an-2}构成以3为公比的等比数列，得出
an-2=（a1-2）3n
即an=（a1-2）3n+2
当n趋向于正无穷大时，|an|趋向于正无穷大，与{an}是有界数列矛盾．
所以an=2
故答案为：an=2
点评：本题考查等比数列的判定，通项公式求解，数列的有界性．考查变形构造、计算能力．一般的形如an+1=pan+q型递推公式，可通过两边加上一个合适的常数，变形构造出一个新的等比数列．
练习册系列答案
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＞=
1
7
．对于实数a，无穷数列{an}满足如下条件：a1=＜a＞，an+1=
＜
1
an
＞ an≠0
0        an=0
，其中n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若a=
2
，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）当a＞
1
4
时，对任意的n∈N+，都有an=a，求符合要求的实数a构成的集合A；
（Ⅲ）若a是有理数，设a=
p
q
 （p是整数，q是正整数，p，q互质），对于大于q的任意正整数n，是否都有an=0成立，证明你的结论．
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||
1
an
 ||，an≠0
0，an=0
其中n=1，2，3，…
（1）若a=
2
，求数列{an}；
（2）当a＞
1
4
时，对任意的n∈N*，都有an=a，求符合要求的实数a构成的集合A．
（3）若a是有理数，设a=
p
q
 （p 是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有an=0成立，并证明你的结论．
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2b
2b+2-4
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1
2
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}=
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．对于实数a，无穷数列{an}满足如下条件：a1={a}，an+1=
1
an
  ，an≠0
0， an=0
  其中n=1，2，3，…．
（1）若a=
2
，求a2，a3 并猜想数列{a}的通项公式（不需要证明）；
（2）当a＞
1
4
时，对任意的n∈N*，都有an=a，求符合要求的实数a构成的集合A；
（3）若a是有理数，设a=
p
q
 （p是整数，q是正整数，p，q互质），对于大于q的任意正整数n，是否都有an=0成立，证明你的结论．

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