Question

如图，测量河对岸A、B两点间的距离，沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得：∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离是

20

6

．

Answer 1

分析：由∠BDC=∠ADB+∠ADC及∠ADB与∠ADC的度数，求出∠BDC为直角，又∠BCD=45°，得到三角形BCD为等腰直角三角形，可得出BD=CD=40，在三角形ACD中，利用三角形内角和定理求出∠ACD与∠CAD的度数，再由CD的长，利用正弦定理求出AD的长，在三角形ABD中，由AD，BD及cos∠ADB的值，利用余弦定理即可求出AB的长．

解答：解：∵∠ADB=60°，∠ADC=30°，
∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=90°，又∠BCD=45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，又CD=40，
∴BD=CD=40，
在△ACD中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=105°，∠ADC=30°，
∴∠CAD=45°，
又sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=

2 + 6

4

，
由正弦定理

CD

sin∠CAD

=

AD

sin∠ACD

得：

40

sin45°

=

AD

sin105°

，
解得：AD=20（

3

+1），
在△ABD中，利用余弦定理得：AB²=AD²+BD²-2AD•BDcos60°=400（

3

+1）²+40²-800（

3

+1）=2400，
解得：AB=20

6

．
故答案为：20

6

点评：此题考查了正弦、余弦定理，等腰直角三角形的判定与性质，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．