Question

已知函数（）

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数在处取得极值，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，证明不等式 .

 

Answer 1

（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）；（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）求导数，对参数进行分类讨论，当导函数大于0时，得到增区间，导函数小于0时得到减区间。（2）含参数不等式恒成立问题，一般要把要求参数分离出来，然后讨论分离后剩下部分的最值即可。讨论最值的时候要利用导数判断函数的单调性。（3）证明不等式可以有很多方法，但本题中要利用（1）（2）的结论。构造函数，然后利用函数单调性给予证明。

试题解析：（1）函数的定义域为， 1分

当时，，从而，故函数在上单调递减 3分

当时，若，则，从而，

若，则，从而，

故函数在上单调递减，在上单调递增； 5分

（2）由（1）得函数的极值点是，故 6分

所以，即，

由于，即. 7分

令，则

当时，；当时，

∴在上单调递减，在上单调递增； 9分

故，所以实数的取值范围为 10分

（3）不等式 11分

构造函数，则，

在上恒成立，即函数在上单调递增， 13分

由于，所以，得

故 14分

考点：1、多项式函数求导；2、利用导数判断函数的单调性，最值以及证明不等式的综合应用。