Question

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，a_n∈N⁺，a₂=30，a₁S₃=999．
（Ⅰ）求a_n和；
（Ⅱ）设S_n各位上的数字之和为b_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a_n∈N^*∴q＞0．
又∵

a2=a1q=30 a1S30=a1(a1+a2+a3)= a 21 (1+q+q2)=999

（4分）
∴

a1=3 q=10

（6分）
∴a_n=3×10^n-1，Sn=

3-(1-10n)

1-10

=

10n-1

3

（8分）
（Ⅱ）∵S_n各位上的数字之和为b_n，Sn=

10n-1

3

∴s₁=3?b₁=3=3×1，
s₂=33，?b₂=3+3=6=3×2，
s₃=333?b₃=3+3+3=9=3×3…
∴b_n=3n，b_n+1-b_n=3，∴{b_n}是等差数列（10分）
∴Tn=

n(b1+bn)

2

=

n(3+3n)

2

=

3n2+3n

2

．（12分）