Question

解关于x的不等式：log₂（x-1）＞log₄[a（x-2）+1]（a＞1）．

Answer 1

【答案】分析：原不等式等价于log₄ （x-1）²＞log₄[a（x-2）+1]（a＞1），由此可得 ，由a＞1，可得，上述不等式等价于①，分1＜a＜2、a=2、a＞2三种情况分别求出原不等式的解集．
解答：解：原不等式等价于log₄ （x-1）²＞log₄[a（x-2）+1]（a＞1），
∴，即．
由于a＞1，所以，所以，上述不等式等价于①，
（1）当1＜a＜2时，不等式组②等价于，此时，由于，所以 ，
从而可得   或 x＞2．
（2）当a=2时，不等式组①等价于，所以可得  且x≠2．
（3）当a＞2时，不等式组①等价于，此时，由于，所以， 或x＞a．
综上可知：当1＜a＜2时，原不等式的解集为；
当a=2时，原不等式的解集为；
当a＞2时，原不等式的解集为．
点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．