题目内容

数列{a_n}前n项和为S_n，已知 $数学公式$ ，且对任意正整数m，n，都有a_m+n=a_m•a_n，若S_n＜a恒成立则实数a的最小值为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
2

A
分析：由a_m+n=a_m•a_n，分别令m和n等于1和1或2和1，由a₁求出数列的各项，发现此数列是首项和公比都为 $\text{[math]}$ 的等比数列，利用等比数列的前n项和的公式表示出S_n，而S_n＜a恒成立即n趋于正无穷时，求出S_n的极限小于等于a，求出极限列出关于a的不等式，即可得到a的最小值．
解答：令m=1，n=1，得到a₂=a₁²= $\text{[math]}$ ，同理令m=2，n=1，得到a₃= $\text{[math]}$ ，…
所以此数列是首项为 $\text{[math]}$ ，公比也为 $\text{[math]}$ 的等比数列，则S_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ），
S_n＜a恒成立即n→+∞时，S_n的极限≤a，所以a≥ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
则a的最小值为 $\text{[math]}$ ．
故选A
点评：此题考查了等比数列关系的确定，掌握不等式恒成立时所满足的条件，灵活运用等比数列的前n项和的公式及会进行极限的运算，是一道综合题．