Question

已知各项均为正数的数列{a_n}前n项和为S_n，(p-1)Sn=p2-an，n∈N^*，p＞0，且p≠1，数列{b_n}满足b_n=2log_pa_n
（1）求a_n，b_n；
（2）若p=

1

2

，设数列{

bn

an

}的前n项和为T_n，求证：0＜T_n≤4．

Answer 1

分析：（1）由于正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且（p-1）S_n=p²-a_n，（n∈N^*，p＞0，p≠1），利用已知数列的前n项和求其通项的公式及等比数列的定义即可求得a_n，利用b_n=2log_pa_n，可求b_n；
（2）利用错位相减法求得数列的和，即可证得结论．

解答：（1）解：当n=1时，（P-1）a₁=P²-a₁，∴a₁=P
当n≥2时，（P-1）S_n=P²-a_n①，（P-1）S_n-1=P²-a_n-1②
由①-②得：

an

an-1

=

1

p

，
所以数列{a_n}是以a₁=P为首项，公比为

1

P

的等比数列．
∴a_n=P^2-n；
∴b_n=2log_pa_n=4-2n；
（2）证明：p=

1

2

，

bn

an

=

4-2n

2n-2

∴T_n=2×

1

2-1

+0×

1

20

+…+

4-2n

2n-2

∴

1

2

T_n=2×

1

20

+0×

1

21

+…+

6-2n

2n-2

+

4-2n

2n-1

两式相减可得

1

2

T_n=2×

1

2-1

-2×（

1

20

+

1

21

+…+

1

2n-2

）-

4-2n

2n-1

∴T_n=

n

2n-3

＞0
∵当n＞2时，T_n-T_n-1=

2-n

2n-2

＜0，∴T_n≤T₃=3
∵T₁=T₂=4，
∴0＜T_n≤4．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，正确运用错位相减法是解题的关键．