Question

【题目】已知直三棱柱中，，且，点D，E，F分别为，，BC中点．

（1）求证：平面；

（2）若，求三棱锥的体积

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）连接，，在直三棱柱中，易得D是中点，又F是BC中点，可得，再由线面平行的判定定理证明.

（2）在为等腰直角三角形中，根据F是BC中点，得到，由直三棱柱得到，从而平面，可得．在面中，由平面几何知识得到，证得平面，所以EF为高，再求得，代入体积公式求解.

（1）如图所示：

连接，，在直三棱柱中，

侧面是平行四边形，”

∵平行四边形对角线互相平分，D是中点，

∴D是中点，

又F是BC中点，∴，

∵平面，平面，

∴平面．

（2）为等腰直角三角形，，，

∵F是BC中点，∴，

直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，

∴，∵，

∴平面，

∵平面，

∴．

又∵，

，，

∴，

∴．

又∵，

∴平面．

∴平面ADF．

∴，

又，，

∴．