Question

不等式ln（1+x）-

1

4

x²≤M恒成立，则M的最小值为

 

．

Answer 1

分析：问题转化为M大于等于f（x）=ln(1+x)-

1

4

x2的最大值，要求函数的最值，求出导函数令其为零得到驻点，然后分区间讨论函数的增减性，求出函数的极大值，考虑闭区间两个端点对应的函数值的大小，最后判断出最大值即可．

解答：解：令f（x）=ln(1+x)-

1

4

x2，则问题转化为M大于等于f（x）的最大值．
f′(x)=

1

1+x

-

1

2

x，
令

1

1+x

-

1

2

x=0，
化简为x²+x-2=0，解得x₁=-2（舍去），x₂=1．
当-1＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调增加；
当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调减少．
所以 f(1)=ln2-

1

4

为函数f（x）的极大值．
又因为f（0）=0，f（2）=ln3-1＞0，f（1）＞f（2），
所以f(1)=ln2-

1

4

为函数f（x）在（-1，+∞）上的最大值．
∴M≥In2-

1

4

．
则M的最小值为In2-

1

4

．
故答案为：In2-

1

4

．

点评：本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最值以及综合运算能力．