Question

【题目】在平面直角坐标系中，圆，点，过的直线与圆交于点，过做直线平行交于点．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过的直线与交于、两点，若线段的中点为，且，求四边形面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）由题意可得，可得，则的轨迹是焦点为，，长轴为的椭圆的一部分，再用待定系数法即可求出方程；

（2）由题意设直线方程为，设，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理表示出，可得，设四边形的面积为，则，再根据基本不等式即可求出答案．

解：（1）因为，又因为，所以，

所以，

所以的轨迹是焦点为，，长轴为的椭圆的一部分，

设椭圆方程为，

则，，所以，，

所以椭圆方程为，

又因为点不在轴上，所以，

所以点的轨迹的方程为；

（2）因为直线斜率不为0，设为，

设，，联立整理得，

所以，，，

所以，

∵，∴，

设四边形的面积为，

则 ，

令，

再令，则在单调递增，

所以时，，

此时，取得最小值，所以．