Question

【题目】如图1，在矩形中，，，为的中点，为中点．将沿折起到，使得平面平面（如图2）．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）在线段上是否存在点，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）先证明平面．再证明.(2) 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系（如图）,利用向量法求直线与平面所成角的正弦值.(3) 假设在线段上存在点，使得平面.设，且，根据平面求得，所以当时，平面．

（1）由已知，

因为为中点，所以．

因为平面平面，且平面平面，

平面，所以平面．

又因为平面，所以．

（2）设为线段上靠近点的四等分点，为中点．

由已知易得．

由（1）可知，平面，

所以，.

以为原点，所在直线分别为轴

建立空间直角坐标系（如图）．

因为，，

所以．

设平面的一个法向量为，

因为，

所以 即

取，得．

而 .

所以直线与平面所成角的正弦值

（3）在线段上存在点，使得平面.

设，且，则，．

因为，所以，

所以，

所以，．

若平面，则.即.

由（2）可知，平面的一个法向量，

即，解得，

所以当时，平面．