Question

【题目】已知函数.

（1）若函数是偶函数，求实数的值；

（2）若函数，关于的方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求的值；

（2）根据题意方程有且只有一个实数根，等价于只有一个实数根，等价于有且只有一个实数根，令，则需关于的方程有且只有一个大于的实数根，结合二次函数的性质来分析。

解：（1）因为是偶函数，

所以对任意的成立，

所以对任意的成立，

所以对任意的成立，

所以.

（2）因为，，

所以，

所以

设，则有关于的方程.

若，即，则需关于的方程有且只有一个大于的实数根.

设，则，

所以，

所以成立，

所以，满足题意；

若，即时，解得，不满足题意；

若，即时，，且，

所以.

当时，关于的方程有且只有一个实数根，满足题意.

综上，所求实数的取值范围是..